含参导数综合（三问串联）

已知函数 $f(x) = ae^x - \ln x - 1$（$x > 0$, $a \in \mathbb{R}$）。
（1）当 $a = 0$ 时，讨论 $f(x)$ 的单调性；
（2）若 $f(x) \geq 0$ 对一切 $x > 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围；
（3）当 $a = 1$ 时，证明：对任意 $x > 0$，$e^x > \ln x + x + 1$。