2023高考导数与函数综合解答(常规)

17. 设函数 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$，其中 $a, b, c \in \mathbb{R}$．

（1）若 $f(x)$ 的图象在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程为 $y = 3x - 1$，求 $a + b + c$ 的值．

（2）已知 $f(x)$ 在区间 $[0, 2]$ 上单调递增，且 $f(0) = 1$．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数 $f(x)$ 唯一确定，求 $a$ 的值．

条件①：$f(2) = 9$；
条件②：$f'(1) = 3$；
条件③：$f(x)$ 在区间 $[-1, 0]$ 上单调递减．

注：如果选择的条件不符合要求（即不能唯一确定 $f(x)$ 或与“在 $[0,2]$ 上单调递增”矛盾），第（2）问得 0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．