充分条件与必要条件的判定

已知集合 $A = \{x \mid x^2 - 4x + 3 < 0\}$，集合 $B = \{x \mid |x - a| < 2\}$，其中 $a \in \mathbb{R}$。

（1）求集合 $A$；

（2）若“$x \in A$”是“$x \in B$”的充分不必要条件，求实数 $a$ 的取值范围。