31．（2023•亭湖区校级三模）已知函数$f(x)=\sqrt{2}a\sin ax+a\cos (ax+\frac{\pi }{4})+b(a>0)$的值域为$[-1$，$3]$．
（1）求$f(x)$的单调递增区间；
（2）若$f(\omega x)(\omega >0)$在$[0,\frac{\pi }{6}]$上恰有一个零点，求$\omega$的取值范围．