31．（2023•海淀区校级三模）若数列$\{a_{n}\}$满足$\vert a_{k+1}-a_{k}\vert =1(k=1$，2，3，$\dotsb$，$n-1(n\geqslant 2))$，则称数列$\{a_{n}\}$为$\eta$数列．记$S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\dotsb +a_{n}$．
（1）写出一个满足$a_{1}=a_{5}=1$，且$S_{5}=5$的$\eta$数列；
（2）若$a_{1}=24$，$n=2000$，证明：$\eta$数列$\{a_{n}\}$是递增数列的充要条件是$a_{n}=2023$；
（3）对任意给定的整数$n(n\geqslant 3)$，是否存在首项为1的$\eta$数列$\{a_{n}\}$，使得$S_{n}=1$？如果存在，写出一个满足条件的$\eta$数列$\{a_{n}\}$；如果不存在，说明理由．