2025高考导数与函数综合解答(压轴候选)

已知函数 $f(x) = \ln x - ax^2 + (2a-1)x$，其中 $a \in \mathbb{R}$，定义域为 $(0, +\infty)$。记曲线 $y = f(x)$ 在点 $A(1, f(1))$ 处的切线为 $l$。

（1）若 $f(x)$ 在定义域内存在最大值，求该最大值（用含 $a$ 的式子表示），并确定此时实数 $a$ 的取值范围；

（2）若对任意 $x \in (0,1) \cup (1,+\infty)$，均有 $f(x) < f(1) + f'(1)(x-1)$，即曲线 $y=f(x)$ 在点 $A$ 处的切线 $l$ 始终位于曲线**上方**（除切点 $A$ 外），求实数 $a$ 的取值范围；

（3）当 $a = \frac{1}{4}$ 时，设直线 $m$ 过点 $A$ 且与切线 $l$ 垂直，$m$ 与 $x$ 轴交于点 $P$，过点 $A$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $Q$。记 $\triangle APQ$ 的面积为 $S$，求 $S$ 的取值范围。