函数概念与对应关系的判定与应用

已知集合 $A = \{1, 2, 3, 4\}$，集合 $B = \{a, b, c\}$。定义映射 $f: A \to B$ 满足：对任意 $x \in A$，$f(x) \in B$，且要求 $f$ 是一个函数（即满足函数的单值性定义）。\n\n(1) 若 $f$ 还需满足“$f(1) = f(2)$”，问：这样的函数 $f$ 共有多少个？\n\n(2) 若进一步要求 $f$ 是满射（即 $\operatorname{Im}(f) = B$），且仍满足 $f(1) = f(2)$，问：满足条件的函数 $f$ 共有多少个？\n\n(3) 判断下列对应关系 $g$ 是否构成从 $A$ 到 $B$ 的函数，并说明理由：\n\n\quad $g = \{(1,a),\ (2,b),\ (3,a),\ (3,c),\ (4,b)\}$。