2024高考导数与函数综合解答(压轴候选)

已知函数 $f(x) = \frac{\ln x}{x} + a$（其中 $a \in \mathbb{R}$），其图像上一点 $A(x_0, f(x_0))$（$x_0 > 0$）处的切线为 $l$。

（1）若切线 $l$ 的斜率为 $-\frac{1}{e^2}$，求 $f(x)$ 的单调区间；

（2）证明：切线 $l$ 不经过点 $P(e, \frac{1}{e} + a)$；

（3）记切线 $l$ 与 $y$ 轴交于点 $B$。设 $A(x_0, f(x_0))$ 满足 $x_0 \in (0, 1) \cup (1, e) \cup (e, +\infty)$，且 $|AB| = \sqrt{2}$。已知 $a = 0$，参考数据：$\ln 2 \approx 0.693$，$\ln 3 \approx 1.099$，$e \approx 2.718$。当 $x_0 \in (0, 5)$ 时，满足条件的点 $A$ 的个数为？