指数函数的单调性与不等式求解

已知函数 $f(x) = a^{2x} - 2a^x + 3$，其中 $a > 0$ 且 $a \neq 1$。

（1）令 $t = a^x$，将 $f(x)$ 表示为关于 $t$ 的函数 $g(t)$，并写出 $t$ 的取值范围；

（2）若 $f(x)$ 在区间 $[-1, 1]$ 上的最小值为 $2$，求实数 $a$ 的值。