30．（2023•温州模拟）设$S_{n}$为正项数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和，满足$2S_{n}={a}_{n}^{2}+a_{n}-2$．
$(I)$求$\{a_{n}\}$的通项公式；
$(II)$若不等式$(1+\frac{2}{{a}_{n}+t}){\;}^{{a}_{n}}\geqslant 4$对任意正整数$n$都成立，求实数$t$的取值范围；
（Ⅲ）设$b_{n}={e}^{\frac{3}{4}{a}_{n}ln(n+1)}$（其中$r$是自然对数的底数），求证：$\frac{{b}_{1}}{{b}_{3}}+\frac{{b}_{2}}{{b}_{4}}+\ldots +\frac{{b}_{n}}{{b}_{n+2}}<\frac{\sqrt{6}}{6}$．