构造性放缩（高阶压轴）

已知函数 $f(x) = x\ln x$。
（1）求 $f(x)$ 的最小值；
（2）设 $a, b > 0$ 且 $a \neq b$，证明：$a^b \cdot b^a < \left(\dfrac{a+b}{2}\right)^{a+b}$。