数列的基本概念

题1: 5．已知数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和$S_{n}=2n^{2}+1$，$n\in N*$，则$a_{5}=($　　$)$

题2: 4. 已知数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和$S_{n}=n^{2}-2n+1$，则$a_{3}=($　　$)$

题3: 28. 已知各项都为正数的等比数列$\{a_{n}\}$，若$a_{8}\centerdot a_{12}+5a_{10}=14$，则$\log _{2}a_{

题4: 14. 已知数列$\{a_{n}\}$满足$a_{n}=\left\{\begin{array}{l}{a}^{n-7},n\leqslant 8,\\ (\

题5: 10．已知数列$\{a_{n}\}$为递增数列，$a_{n}=n2-\lambda n+3$．则$\lambda$的取值范围是 ___$(-\infty ,3)

题6: 26．已知数列$\{a_{n}\}$满足$a_{n}=n^{2}-5n-6$，$n\in N_{+}$ （Ⅰ）数列中有哪些项是负数？ （Ⅱ）当$n$为何值时，$

题7: 24. 已知等差数列$\{a_{n}\}$中满足$a_{1}=1$，${a_3}=a_2^2-4$， （1）求通项公式$a_{n}$； （2）试求数列$\{a_

题8: 12．$\frac{2}{3}$，$\frac{4}{15}$，$\frac{6}{35}$，$\frac{8}{63}$，$\frac{10}{99}$，$\

题9: 4．（2023•甘肃模拟）九连环是一种流传于我国民间的传统智力玩具．它用九个圆环相连成串，解开九连环最少需要移动341次．它在中国有近两千年的历史，《红楼梦》中

题10: 9．已知数列$\{a_{n}\}$的前8项1，1，2，3，5，10，13，21，令$f(x)=\sum\limits_{i=1}^{8}(x-{a}_{i})^

题11: 6．（2023•浉河区校级模拟）三潭印月被誉为"西湖第一胜境"，所谓三潭，实际上是3个石塔和其周围水域，石塔建于宋代元四年（公元1089年），每个高2米，分别矗

题12: 23．已知数列$\{a_{n}\}$满足下列条件：①是无穷数列；②是递减数列；③每一项都是正数．写出一个符合条件的数列$\{a_{n}\}$的通项公式：$a_{

题13: 21．已知无穷数列$\{a_{n}\}$满足$a_{1}=1$，$a_{2}=0$，$a_{3}=-1$，$a_{4}=0$，写出满足条件的$\{a_{n}\}

题14: 16. 已知数列$\{a_{n}\}$为递减数列，其前$n$项和$S_{n}=-n^{2}+2n+m$，则实数$m$的取值范围是 $(-2,+\infty )$

题15: 13. 设$a>0$且$a\ne 1$，已知数列$\{b_{n}\}$满足${b_n}=\left\{{\left.\begin{array}{l}{(3-a)

题16: 4．已知数列$\{a_{n}\}$的项满足$a_{n+1}=\frac{n}{n+2}a_{n}$，而$a_{1}=1$，通过计算$a_{2}$，$a_{3}$

题17: 3．数列$-1$，4，$-9$，16，$-25\ldots$的一个通项公式为$($　　$)$

题18: 6．已知数列$\{a_{n}\}$满足$a_{n}=2^{n}+kn$，若$\{a_{n}\}$为递增数列，则$k$的取值范围是$($　　$)$

题19: 16．下列说法中正确的是$($　　$)$

题20: 5. 若数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和$S_{n}=n^{2}-1$，则$a_{4}=($　　$)$

题21: 8. 下列通项公式中，对应数列是递增数列的是$($　　$)$

题22: 12．数列$-2$，4，$-6$，8，$\ldots$的通项公式可以是$($　　$)$

题23: 17．下列叙述不正确的是$($　　$)$

题24: 18．（2023•金凤区校级一模）农历是我国古代通行历法，被誉为"世界上最突出和最优秀的智慧结晶"．它以月相变化周期为依据，每一次月相朔望变化为一个月，即"朔望

题25: 3．（2023•雅安模拟）小方计划从4月1日开始存储零钱，4月1日到4月4日每天都存储1元，从4月5日开始，每天存储的零钱比昨天多1元，则小方存钱203天$(4

题26: 27．（2023•固镇县三模）我国古代数学著作《九章算术》有如下问题："今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，

题27: 10．（2023•门头沟区一模）中国古代数学著作《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰．书里记载了这样一个问题"今有女子善织，日自倍，五日织五尺．问日织几

题28: 1．（2023•北京模拟）2023年是我国规划的收官之年，2022年11月23日全国22个省份的832个国家级贫困县全部脱贫摘帽．利用电商平台，开启数字化科技优

题29: 1．已知数列9，99，999，9999，$\ldots \ldots$，写出$\{a_{n}\}$的通项公式$($　　$)$

题30: 10．数列$\frac{2}{3},\frac{4}{5},\frac{6}{7},\frac{8}{9},\cdot \cdot \cdot$的第10项是$(

题31: 19. 若数列$\{a_{n}\}$的通项公式为$a_{n}=\frac{n}{{n}^{2}+196}(n\in N*)$，则这个数列中的最大项是$($　　$

题32: 12．（2023•南京二模）大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传"大衍之数五十"的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生即太极生两仪原理，如图所示（图中●表示太

题33: 9．（2023•榆林三模）现有17匹善于奔驰的马，它们从同一个起点出发，测试它们一日可行的路程．已知第$i(i=1$，2，$\ldots$，$16)$匹马的日行

题34: 20．已知数列$\{a_{n}\}$的前4项为2，0，2，0，则该数列的通项公式可能为$($　　$)$

题35: 1．若数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和$S_{n}=2n^{2}+1$，则下列结论正确的是$($　　$)$

题36: 25. 数列$\{a_{n}\}$中，$a_{1}=3$，$a_{2}=6$，$a_{n+2}=a_{n+1}-a_{n}$，那么$a_{6}=($　　$)$

题37: 20. 若${a}_{n}=-2{n}^{2}+31n$，则数列$\{a_{n}\}$的最大项是第 项．

题38: 19．已知数列$\{a_{n}\}$的前4项为2，0，2，0，则该数列的通项公式可能为$($　　$)$

题39: 15．数列2，0，2，0，$\ldots$的通项公式可以为$($　　$)$

题40: 7．（2023•海淀区二模）芯片是科技产品中的重要元件，其形状通常为正方形．生产芯片的原材料中可能会存在坏点，而芯片中出现坏点即报废，通过技术革新可以减小单个芯

题41: 11. 写出一个同时具有下列性质①②的数列$\{a_{n}\}$的通项公式：$a_{n}=$___$kn(k>0)$[（符合此种形式即可）　]． ①$a_{m-

题42: 15．已知数列$\{a_{n}\}$是公差不为0的等差数列，$a_{2}=3$，且$a_{5}$是$a_{4}$，$a_{8}$的等比中项． （1）求数列$\{

题43: 1. 数列2，5，11，20，$x$，47，$\ldots$中的$x$值为$($　　$)$

题44: 9．数列$-2$，4，$-\frac{26}{3}$，20，$\ldots$的一个通项公式可以是$($　　$)$

题45: 2. 数列$-4$，7，$-10$，13，$\ldots$的一个通项公式为$($　　$)$

题46: 15．（2023•南通模拟）传说国际象棋发明于古印度，为了奖赏发明者，古印度国王让发明者自己提出要求，发明者希望国王让人在他发明的国际象棋棋盘上放些麦粒，规则为

题47: 28．（2023•保定二模）我们知道地球和火星差不多在同一轨道平面上运动，火星轨道在地球轨道之外．当地球和火星与太阳在同一条直线上，这一天文现象称为"冲日"，简

题48: 29．（2022•南通模拟）德国数学家康托尔是集合论的创始人，以其名字命名的"康托尔尘埃"作法如下：第一次操作，将边长为1的正方形分成9个边长为$\frac{1

题49: 11．已知数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和$S_{n}=3+2^{n}$，则数列$\{a_{n}\}$的通项公式为___${a_n}=\left\{\b

题50: 26. 在数列$\{a_{n}\}$中，已知$a_{1}=1$，$a_{n+1}-a_{n}=\sin \frac{(n+1)\pi }{2}$，则$a_{20

题51: 13．已知数列$\{a_{n}\}$的通项公式为$a_{n}=n^{2}-5n+4$． （1）数列中有多少项是负数？ （2）$n$为何值时，$a_{n}$有最小

题52: 12. 已知数列$\{a_{n}\}$的通项公式为${a_n}=n+\frac{\lambda }{n}$，$n\in N^{*}$，且$\{a_{n}\}$为

题53: 5．（2023•池州模拟）如图的形状出现在南宋数学家杨部所著的《详解九章算法$\cdot$商功》中，后人称为"三角垛"．角垛"的最上层有1个小球，第二层有3个小

题54: 21．（2023•思明区校级模拟）如图所示，九连环是中国传统民间智力玩具，以金属丝制成9个圆环，解开九连环共需要256步，解下或套上一个环算一步，且九连环的解下

题55: 14．用1、2、3、4四个数字可重复地任意排成三位数，并把这些三位数由小到大排成一个数列$\{a_{n}\}$． （1）写出这个数列的第8项； （2）这个数列共

题56: 16．已知数列$\{a_{n}\}$满足$a_{n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+\ldots +\fr

题57: 8．（2023•四川三模）分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学．作为当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科，它的出现使人们重新审视这个世界：世界是

题58: 17. 在数列$\{a_{n}\}$中，${a_n}=({2n-1}){({\frac{7}{8}})^n}$，则数列$\{a_{n}\}$中的最大项是第 项．

题59: 8．已知数列$\{a_{n}\}$的通项公式为${a_n}=\frac{n}{3n-16}$，则$($　　$)$

题60: 22. 记$S_{n}$为数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和．若$a_{n}=n(8-n)(n=1$，2，$\dotsb )$，则$($　　$)$

题61: 4．记$S_{n}$为数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和．若$a_{n}=n(8-n)(n=1$，2，$\dotsb )$，则$($　　$)$

题62: 26．（2023•桃城区校级一模）分形几何学是法国数学家曼德尔勃罗特在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．如

题63: 8．数列0，$\frac{3}{2}$，4，$\frac{15}{2}$，$\ldots$的一个通项公式为$($　　$)$

题64: 2．（2023•全国一模）南宋数学家在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，高阶等差数列中前后两项

题65: 27. 在数列$\{a_{n}\}$中，已知$a_{1}=1$，${a_{n+1}}-{a_n}=\sin \frac{(n+1)\pi }{2}$，记$S_{

题66: 22．数列$\{a_{n}\}$的通项公式为$a_{n}=n^{2}+\lambda n$，对于任意自然数$n(n\geqslant 1)$，数列$\{a_{n

题67: 7. 已知数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和为${S_n}=2{n^2}-30n$． （1）求出$\{a_{n}\}$的通项公式； （2）求$S_{n}

题68: 19．（2023•湖滨区三模）在当前市场经济条件下，私营个体商店中的商品，所标价格$a$与其实际价值之间，存在着相当大的差距．对顾客而言，总是希望通过"讨价还价

题69: 11．已知无穷实数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$．若数列$\{S_{n}\}$既有最大项，也有最小项，则在：①"$a_{1}>0$且数列

题70: 25．已知数列$\{a_{n}\}$的通项公式为${a_n}=n+\frac{\lambda }{n}$，$n\in N^{*}$，且$\{a_{n}\}$为单

题71: 11．（2023•安康一模）南京市地铁$S8$号线经扩建后于2022年国庆当天正式运行，从起点站长江大桥北站到终点站金牛湖站总行程大约为51.3千米，小张是陕西

题72: 16．（2023•上饶模拟）2022年10月16日上午10时，举世瞩目的中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂隆重开幕，某单位组织全体人员在报告厅集体收

题73: 9. 已知数列$\{a_{n}\}$的前$n$项的积为$T_{n}$，且$T_{n}=n(n=1$，2，3，$\dotsb )$，则数列$\{a_{n}\}(

题74: 6. 设数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和$S_{n}=n^{2}$，则$a_{9}$的值为$($　　$)$

题75: 2．已知函数$f(x)=\frac{{3}^{x}-2}{{3}^{x}}(x\in R)$，设数列$\{a_{n}\}$的通项公式为${a}_{n}=f(n)

题76: 18．已知数列$\sqrt{2}$，2，$\sqrt{6}$，$2\sqrt{2}\ldots$，则下列说法正确的是$($　　$)$

题77: 13．若数列为$\sqrt{3}$，$\sqrt{8}$，$\sqrt{13}$，$\sqrt{18}$，$\ldots$，则$7\sqrt{2}$是该数列中的

题78: 13．（2023•李沧区校级一模）云冈石窟，古称为武州山大石窟寺，是世界文化遗产．若某一石窟的某处"浮雕像"共7层，每一层的"浮雕像"个数是其下一层的2倍，共有

题79: 3. 数列$\frac{3}{2},\frac{5}{4},\frac{7}{6},\frac{9}{8},\cdot \cdot \cdot$的一个通项公式

题80: 5．若数列为$3^{7}$，$3^{10}$，$3^{13}$，$3^{16}$，$\ldots$，则$3^{82}$是这个数列的$($　　$)$

题81: 2．已知$\{a_{n}\}$是各项均为正整数的递增数列，且$a_{1}\geqslant 3$，若$a_{1}+a_{3}+a_{5}\ldots +a_{2

题82: 7．设数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，则"对任意$n\in N*$，$a_{n}>0$"是"数列$\{S_{n}\}$为递增数列"的$

题83: 7．数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，已知${S}_{n}=-{n}^{2}+7n$，则下列说法正确的是$($　　$)$

题84: 33．（2023•昆明一模）{width="2.79166666666666

题85: 10. 已知数列$\{a_{n}\}$中，$a_{n}=n^{2}-5n+4$，则数列$\{a_{n}\}$的最小项是$($　　$)$

题86: 22．（2023•南关区校级模拟）如图，阴影部分是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这样的：正方形$ABCD$的边长为4，取正方形$ABCD$各边的四等分点$

题87: 27．已知有穷数列$\{a_{n}\}$、$\{b_{n}\}(n=1$，2，$\ldots$，$k)$，函数$f(x)=a_{1}\vert x-b_{1}\

题88: 25．（2023•闵行区二模）若数列$\{b_{n}\}$、$\{c_{n}\}$均为严格增数列，且对任意正整数$n$，都存在正整数$m$，使得$b_{m}\i

题89: 35．（2023•海淀区校级模拟）若无穷数列$\{a_{n}\}$的各项均为整数．且对于$\forall i$，$j\in N^{*}$，$i<j$，都存在$k

题90: 24．（2023•十堰模拟）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，$\ldots$．该数列的特点为

题91: 24．"物不知数"问题："今有物，不知其数，三、三数之，剩二；五、五数之，剩三；七、七数之，剩二．问物几何？"即著名的"孙子问题"，最早由《孙子算经》提出，研究

题92: 14．已知各项均为正整数的递增数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，若$a_{1}=3$，$S_{n}=2023$，当$n$取最大值时，$a

题93: 32．（2023•佛山一模）佛山新城文化中心是佛山地标性公共文化建筑．在建筑造型上全部都以最简单的方块体作为核心要素，与佛山世纪莲体育中心的圆形莲花造型形成"方

题94: 17．（2023•湖北模拟）为平衡城市旅游发展和生态环境保护，某市计划通过五年时间治理城市环境污染，预计第一年投入资金81万元，以后每年投入资金是上一年的$\f

题95: 20．（2023•万州区校级模拟）如图中阴影部分是一个美丽的螺旋线型图案，其画法是：取正六边形$ABCDEF$各边的三等分点$A_{1}$，$B_{1}$，$C

题96: 30．（2023•河南三模）为激发大家学习数学的兴趣，在一次数学活动课上．老师设计了有序实数组$A=(a_{1}$，$a_{2}$，$a_{3}$，$\dots

题97: 18. 在数列$\{a_{n}\}$中，${a}_{n}=\frac{n}{{n}^{2}+14}$，则$a_{n}$的最大值是$($　　$)$

题98: 23. 已知数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和${S_n}=-2{n^2}+11n$． （1）求$S_{n}$的最大值； （2）求数列$\{a_{n}\}

题99: 15. 若数列$\{a_{n}\}$的通项公式是${a}_{n}=(n+2)\cdot {(\frac{7}{8})}^{n}$，且$a_{n}\leqslan

题100: 31．（2023•海淀区校级三模）若数列$\{a_{n}\}$满足$\vert a_{k+1}-a_{k}\vert =1(k=1$，2，3，$\dotsb$，

题101: 23．（2023•黄石模拟）中国古代的武成王庙是专门祭祀姜太公以及历代良臣名将的庙宇，这类庙宇的顶部构造颇有讲究，如图是某武成王顶部的剖面直观图，其中$A_{i

题102: 14．（2023•海淀区校级三模）已知数列$\{a_{n}\}$满足：对任意的$n\in N^{*}$，总存在$m\in N^{*}$，使得$S_{n}=a_{

题103: 21. 已知数列$\{a_{n}\}$的通项公式为${a_n}={({-\frac{4}{5}})^n}\cdot \frac{n+1}{2}$，设数列$\{a

题104: 6．等比数列$\{a_{n}\}$中，首项为$a_{1}$，公比为$q$，则下列条件中，使$\{a_{n}\}$一定为递减数列的条件是$($　　$)$

题105: 28．已知数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}=\frac{a}{2}n^{2}$． （1）求证：数列$\{a_{n}\}$为等差数列； （2

题106: 3．已知数列$\{a_{n}\}$中，$a_{n}=n^{2}-5n+4$，则数列$\{a_{n}\}$的最小项是$($　　$)$