2023高考数列解答(压轴候选)

已知两个有限数列 $\{a_n\}$ 与 $\{b_n\}$，项数均为 $m$（$m\in\mathbb{N}^*$），其前 $n$ 项和分别为 $A_n = \sum_{k=1}^{n} a_k$、$B_n = \sum_{k=1}^{n} b_k$（$1\le n\le m$），并规定 $A_0 = B_0 = 0$。对于 $n=1,2,\dots,m$，定义 $$c_n = \max\left\{ A_i - B_j \mid 0\le i\le n,\; 0\le j\le n \right\},$$ 其中 $\max M$ 表示数集 $M$ 中的最大元素。

（1）若 $m=3$，且 $a_1=1,\,a_2=-2,\,a_3=4$，$b_1=2,\,b_2=1,\,b_3=-1$，求 $c_3$ 的值；

（2）若 $m=4$，且 $a_n = (-1)^n$，$b_n = n$（$n=1,2,3,4$），求 $c_4$；

（3）设 $\{a_n\},\{b_n\}$ 为任意两个长度为 $m$ 的实数列，记 $S = \max\limits_{1\le k\le m} |A_k - B_k|$。证明：存在 $n_0 \in \{1,2,\dots,m\}$，使得 $c_{n_0} \ge S$。