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#0a2fa709-bf2f-4d1d-a050-fb66102f7e33
中上
解答题
隐零点问题
导数
【代表题】隐零点 · 设 x₀
设
f
(
x
)
=
e
x
−
x
2
f(x) = e^x - x^2
f
(
x
)
=
e
x
−
x
2
。证明：
f
(
x
)
>
0
f(x) > 0
f
(
x
)
>
0
对所有
x
≥
0
x \ge 0
x
≥
0
恒成立。
解析
设
g
(
x
)
=
f
′
(
x
)
=
e
x
−
2
x
g(x) = f'(x) = e^x - 2x
g
(
x
)
=
f
′
(
x
)
=
e
x
−
2
x
。
g
′
(
x
)
=
e
x
−
2
g'(x) = e^x - 2
g
′
(
x
)
=
e
x
−
2
在
x
=
ln
2
x = \ln 2
x
=
ln
2
处为零，是
g
g
g
的极小值点。
g
(
ln
2
)
=
2
−
2
ln
2
=
2
(
1
−
ln
2
)
>
0
g(\ln 2) = 2 - 2\ln 2 = 2(1 - \ln 2) > 0
g
(
ln
2
)
=
2
−
2
ln
2
=
2
(
1
−
ln
2
)
>
0
（
ln
2
<
1
\ln 2 < 1
ln
2
<
1
），故
g
(
x
)
>
0
g(x) > 0
g
(
x
)
>
0
对所有
x
x
x
恒成立。由
f
′
(
x
)
=
g
(
x
)
>
0
f'(x) = g(x) > 0
f
′
(
x
)
=
g
(
x
)
>
0
，
f
f
f
严格递增。
f
(
0
)
=
1
>
0
f(0) = 1 > 0
f
(
0
)
=
1
>
0
，故
f
(
x
)
>
0
f(x) > 0
f
(
x
)
>
0
对
x
≥
0
x \ge 0
x
≥
0
成立。
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