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#58e15d46-67a0-4fb0-8950-9eacc6d7c07e中上解答题隐零点问题导数

【代表题】隐零点 · 推不等式

设 f(x)=ln⁡x−ax+1f(x) = \ln x - ax + 1（a>0a > 0，x>0x > 0）。若 ff 的最大值满足 fmax⁡≥0f_{\max} \ge 0，求 aa 的取值范围。

解析
f′(x)=1/x−af'(x) = 1/x - a，令 f′=0f' = 0 得隐零点 x0=1/ax_0 = 1/a。代入 f(x0)=ln⁡(1/a)−a⋅(1/a)+1=−ln⁡a−1+1=−ln⁡af(x_0) = \ln(1/a) - a \cdot (1/a) + 1 = -\ln a - 1 + 1 = -\ln a。要求 −ln⁡a≥0-\ln a \ge 0，即 ln⁡a≤0\ln a \le 0，即 0<a≤10 < a \le 1。

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