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#1ed3812b-6dd9-4064-950e-cd9aef3c2aa0中等解答题导数与函数单调性导数及其应用
考点来源：一数《【模块二】1 判断函数零点所在区间》一数《「导数含参单调性讨论」一小时大串讲！》一数《【高二】导数公式+切线+单调性极值！一课搞定！》一数《BV1VafCB4EL1》

10．（2023春•唐山期末）已知函数f(x)=ex−ax−1f(x)=e^{x}-ax-1． （1）讨论函数f(x)f(x)的单调性； （2）若f(x)f(x)有且仅有2个零点，求实数aa的取值范围．

解析
【主解法】 第1步：（1）f′(x)=ex−af\prime (x)=e^{x}-a， a⩽0a\leqslant 0时，f′(x)>0f\prime (x)>0恒成立，f(x)f(x)在RR上是增函数； a>0a>0时，x<lnax<lna时，f′(x)<0f\prime (x)<0，f(x)f(x)是减函数，x>lnax>lna时，f′(x)>0f\prime (x)>0，f(x写出f(x)的导函数表达式第2步：（2）当f(x 写出f(x)的导函数表达式 第2步：（2）当a≤ 0时，由（1）得时，由（1）得f(x)在在R上是增函数，不符合题意；请填写此处所讨论的函数名称（用符号表示）第3步：当上是增函数，不符合题意； 请填写此处所讨论的函数名称（用符号表示） 第3步：当a>0时，由（1）得时，由（1）得f(x)≥ f(lna)=a-alna-1；①当； ①当lna=0\Rightarrow a=1时，时，f(lna)=f(0)=0，，f(x)只有一个零点，不符合题意；②当只有一个零点，不符合题意； ②当lna>0\Rightarrow a>1时，时，f(lna)<f(0)=0，写出f(x)在x=lna处的函数值表达式第4步：又， 写出f(x)在x=lna处的函数值表达式 第4步：又f(x)在在(lna,+∞ )上是增函数，又上是增函数， 又f(x)在在(lna,+∞ )上是增函数，第5步：设上是增函数， 第5步：设g（a）（a）=f（a）（a）=e^{a}-a^{2}-1，，h（a）（a）=g\prime（a）（a）=e^{a}-2a，，h\prime（a）（a）=e^{a}-2>h\prime（1）（1）>0，，\therefore g\prime（a）在（a）在(1,+∞ )单调递增，单调递增，g\pri 写出函数g(a)中被求导的原函数表达式 第6步：设m(x)=x−lnxm(x)=x-lnx，由m′(x)=1−1xm\prime (x)=1-\frac{1}{x}知， 写出函数m(x)的解析式 第7步：当x∈(0,1)x\in (0,1)，m′(x)<0m\prime (x)<0，m(x)m(x)单调递减，当x∈(1,+∞)x\in (1,+\infty )，m′(x)>0m\prime (x)>0，m(x)m(x)单调递增， ∴m(x)=x−lnx⩾m\therefore m(x)=x-lnx\geqslant m（1）=1⇒x>lnx=1\Rightarrow x>lnx，即 写出关于x−lnxx-lnx的最小值满足的条件 第8步：故f(x)f(x)在(lna,+∞)(lna,+\infty )有一个零点，故函数有两个零点； ③当lna<0⇒0<a<1lna<0\Rightarrow 0<a<1时，f(lna)<f(0)=0f(lna)<f(0)=0，故(lna,+∞)(lna,+\infty )有一个零点， 计算lna小于零时对应的常数项值 第9步：又f(x)f(x)在(−∞,lna)(-\infty ,lna)上是减函数，f(−1a)=e−1a>0f(-\frac{1}{a})=e^{-\frac{1}{a}}>0，由②得1a>ln1a⇒−1a<−ln1a=lna\frac{1}{a}>ln\frac{1}{a}\Rightarrow -\frac{1}{a}<-ln\frac{1}{a}=lna， 写出指数函数值恒正的条件 第10步：故f(x)f(x)在(−∞,lna)(-\infty ,lna)有一个零点，故函数有两个零点； 综上，0<a<10<a<1或a>1a>1， 实数aa的取值范围为(0(0，1)⋃(11)\bigcup (1，+∞)+\infty )． 写出函数在指定区间内有零点所对应的函数表达式

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