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#2da6b373-7381-4503-addc-11cf89be1d45中等解答题导数与函数单调性导数及其应用
考点来源：一数《【模块二】1 判断函数零点所在区间》一数《「导数含参单调性讨论」一小时大串讲！》一数《【高二】导数公式+切线+单调性极值！一课搞定！》一数《BV1VafCB4EL1》

14．（2023春•仁寿县校级期中）已知函数f(x)=lnx+ax2+(2a+1)xf(x)=lnx+ax^{2}+(2a+1)x． （1）当a=1a=1时，求y=f(x)y=f(x)曲线在x=1x=1处的切线方程； （2）讨论f(x)f(x)的单调性．

解析
【解答】解：（1）a=1a=1时，f(x)=lnx+x2+3xf(x)=lnx+x^{2}+3x， 则f′(x)=1x+2x+3f\prime (x)=\frac{1}{x}+2x+3， 故ff（1）=4=4，f′f\prime（1）=6=6， 故切线方程是：y−4=6(x−1)y-4=6(x-1)，即y=6x−2y=6x-2； （2）因为f(x)=lnx+ax2+(2a+1)xf(x)=lnx+ax^{2}+(2a+1)x， 对f(x)f(x)求导，f′(x)=1x+2ax+(2a+1)=2ax2+(2a+1)x+1x=(2ax+1)(x+1)xf'(x)=\frac{1}{x}+2ax+({2a+1})=\frac{2a{x^2}+({2a+1})x+1}{x}=\frac{({2ax+1})({x+1})}{x}，(x>0)(x>0)， ①当a=0a=0时，f′(x)=1x+1>0f'(x)=\frac{1}{x}+1>0恒成立，此时y=f(x)y=f(x)在(0,+∞)(0,+\infty )上单调递增； ②当a>0a>0，由于x>0x>0，所以(2ax+1)(x+1)>0(2ax+1)(x+1)>0恒成立，此时y=f(x)y=f(x)在(0,+∞)(0,+\infty )上单调递增； ③当a<0a<0时，令f′(x)=0f'(x)=0，解得x=−12ax=-\frac{1}{2a}， 因为当x∈(0,−12a)x\in ({0,-\frac{1}{2a}})，f′(x)>0f'(x)>0，当x∈(−12a,+∞)x\in ({-\frac{1}{2a},+\infty })，f′(x)<0f'(x)<0， 所以y=f(x)y=f(x)在(0,−12a)({0,-\frac{1}{2a}})上单调递增，在(−12a,+∞)({-\frac{1}{2a},+\infty })上单调递减． 综上可知，当a⩾0a\geqslant 0时，f(x)f(x)在(0,+∞)(0,+\infty )上单调递增， 当a<0a<0时，f(x)f(x)在(0,−12a)({0,-\frac{1}{2a}})上单调递增，在(−12a,+∞)({-\frac{1}{2a},+\infty })上单调递减．

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