2025高考数列解答(压轴候选)

19. 已知数列 $\{a_n\}$ 是首项为 $1$、公差为 $2$ 的等差数列，数列 $\{b_n\}$ 是首项为 $1$、公比为 $3$ 的等比数列．
（1）求数列 $\{a_n\}$ 与 $\{b_n\}$ 的通项公式；
（2）定义集合 $A = \{a_n \mid n \in \mathbb{N}^*\}$，$B = \{b_n \mid n \in \mathbb{N}^*\}$，记 $C = A \cap B$，即 $C$ 为两数列所有公共项构成的集合（按从小到大排列）．
（i）求证：对任意正整数 $k$，均有 $c_{k+1} > 2c_k$；
（ii）求数列 $\{c_k\}$ 的前 $m$ 项和 $S_m = \sum_{k=1}^{m} c_k$，并求集合 $C$ 的所有元素之和（若有限）或说明其发散．