正四棱锥截面与点面距离

正四棱锥 $S-ABCD$ 的底面边长为 $4$，侧棱长为 $2\sqrt{6}$. $E$、$F$、$G$、$H$ 分别为 $SA$、$SB$、$SC$、$SD$ 的中点.
（1）求证：$EG \parallel$ 平面 $ABCD$；
（2）求截面 $EFGH$ 的面积；
（3）求点 $S$ 到截面 $EFGH$ 的距离.