正三棱柱垂直证明与表面积

在正三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 中，$AB=2$，$AA_1=\sqrt{6}$，$D$ 为 $BC$ 的中点.
（1）求证：$AD \perp B_1C_1$；
（2）求三棱锥 $A_1-ABD$ 的全面积.