12．（2023•湖滨区三模）已知函数$f(x)=a\sin \omega x+b\cos \omega x$，其中$\omega >0$，若函数满足以下条件：
①函数$f(x)$在区间$[{\frac{3}{7}\pi ,\frac{4}{7}\pi }]$上是单调函数；
②$f(x)\leqslant \vert {f({\frac{\pi }{4}})}\vert$对任意$x\in R$恒成立；
③经过点$({b,\sqrt{2}a})$的任意直线与函数$y=f(x)$恒有交点，则$\omega$的取值范围是$($　　$)$