2024高考集合与逻辑解答(压轴候选)

21. 设集合 $\mathbb{N}^+=\{1,2,3,\ldots\}$。对于给定的有穷数列 $a=(a_1,a_2,\ldots,a_n)$（其中 $n\geq 2$，各项为正整数），及长度为 $n$ 的非负整数序列 $s=(s_1,s_2,\ldots,s_n)$，定义变换 $T_s$ 如下：

对任意 $k=1,2,\ldots,n$，执行 $s_k$ 次“将当前数列第 $k$ 项加 $1$”的操作（每次操作独立作用于当前数列，且操作顺序按 $k=1$ 到 $k=n$ 依次进行；同一位置重复操作视为累加）。记经此变换后所得数列为 $T_s(a)$。

例如：若 $a=(2,5,1)$，$s=(1,0,2)$，则先对第 $1$ 项加 $1$ 得 $(3,5,1)$，再对第 $2$ 项加 $0$ 次（不变），最后对第 $3$ 项加 $2$ 次得 $(3,5,3)$，故 $T_s(a)=(3,5,3)$。

（1）设 $a=(1,3,2,4)$，$s=(2,1,0,3)$，求 $T_s(a)$；

（2）设 $a=(2,7,5)$，$b=(5,8,9)$。是否存在非负整数序列 $s=(s_1,s_2,s_3)$，使得 $T_s(a)=b$？若存在，写出一个满足条件的 $s$；若不存在，请说明理由；

（3）设 $a=(a_1,a_2,\ldots,a_n)$ 各项均为正整数，且 $n$ 为偶数。证明：“存在非负整数序列 $s=(s_1,\ldots,s_n)$，使得 $T_s(a)$ 是常数列（即所有项相等）”的充要条件为
$$\sum_{i=1}^{n} a_i \equiv 0 \pmod{n}.$$