4．已知$O$为坐标原点，$F$是椭圆$C:\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1(a>b>0)$的左焦点，$A$，$B$分别为$C$的左，右顶点．$P$为$C$上一点，且$PF\bot x$轴，过点$A$的直线$l$与线段$PF$交于点$M$，与$y$轴交于点$E$．若直线$BM$经过$OE$的中点，则$C$的离心率为$($　　$)$