对数函数与方程综合

已知函数 $f(x) = \log_2(x^2 - 2x + a)$，其中 $a \in \mathbb{R}$。

（1）若函数 $f(x)$ 的定义域为 $(-\infty, 0) \cup (2, +\infty)$，求实数 $a$ 的值；

（2）在（1）的条件下，设 $g(x) = f(x) - \log_2(x)$，求不等式 $g(x) > 1$ 的解集。