24．在如图直四棱柱$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，底面$ABCD$为菱形，$AA_{1}=2AB=4$，$\angle BAD=60\circ$，点$M$为棱$AA_{1}$的中点，若$N$为菱形$A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$内一点（不包含边界），满足$MN//$平面$BDC_{1}$，设直线$MN$与直线$CC_{1}$所成角为$\alpha$，则$\tan \alpha$的最小值为[　]{.underline}$\frac{\sqrt{3}}{4}$[　]{.underline}．