指数函数图像与性质综合判断

已知函数 $f(x) = a^{x-1} + 2$（其中 $a > 0$ 且 $a \neq 1$），其图像恒过定点 $P$，且当 $x = 2$ 时，$f(2) = 5$。则下列结论正确的是：