数列求和方法

题1: 5．（2023•濠江区校级模拟）某软件研发公司对某软件进行升级，主要是对软件程序中的某序列$A=\{a_{1}$，$a_{2}$，$a_{3}$，$\dotsb

题2: 7．（2021•江苏模拟）集合$A$中有4个等差数列，集合$B$中有5个等比数列，$A\bigcap B$的元素个数是1，在$A\bigcup B$中任取两个数

题3: 1．（2022•西城区校级三模）在流行病学中，基本传染数$R_{0}$是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．$R_{0}

题4: 20．杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》、《日用算法》和《杨辉算法》．杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的

题5: 28．（2023•枣庄二模）已知数列$\{a_{n}\}$的首项$a_{1}=3$，且满足${a_{n+1}}+2{a_n}={2^{n+2}}$． （1）证明

题6: 2. 设数列$\{a_{n}\}$是公差不为零的等差数列，其前$n$项和为$S_{n}$，$a_{1}=1$．若$a_{1}$，$a_{2}$，$a_{5}$

题7: 24．（2023•湖北模拟）已知正项数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，且${a}_{n}^{2}+2{a}_{n}-n=2{S}_{n}

题8: 28．（2023•龙华区校级模拟）已知各项均为正数的数列$\{a_{n}\}$满足$2\sqrt{{S}_{n}}=a_{n}+1$，其中$S_{n}$是数列$

题9: 22．若数列$\{a_{n}\}$的通项公式是${a}_{n}={(-1)}^{n}(3n-2)$，则$a_{1}+a_{2}+\dotsb +a_{2024}

题10: 2．（2022•东城区校级三模）在流行病学中，基本传染数$R_{0}$是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．$R_{0}

题11: 11．欧拉函数$\varphi (n)(n\in N^{*})$的函数值等于所有不超过正整数$n$，且与$n$互质的正整数的个数，例如：$\varphi$（1）

题12: 2．已知数列$\{a_{n}\}$中，$a_{n}=2\times 3^{n-1}$，则数列$\{{a}_{n}^{2}\}$的前$n$项和为$($　　$)$

题13: 分组求和

题14: 2．（2023•温州模拟）已知数列$\{a_{n}\}$各项为正数，$\{b_{n}\}$满足${a}_{n}^{2}=b_{n}b_{n+1}$，$a_{n}

题15: 3．（2023•全国二模）已知数列$\{a_{n}\}$满足$a_{n}=\frac{1}{2n(n+1)}$，数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和为$T_

题16: 25．（2023•铜陵三模）已知数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和$S_{n}$满足$(n+3)S_{n}=nS_{n+1}(n\in N_{+})$，且

题17: 7．（2023•固始县校级模拟）数列$\{a_{n}\}$中，$a_{1}=2$，对任意$m$，$n\in N^{+}$，$a_{m+n}=a_{m}a_{n}

题18: 14．（2023•海口模拟）记$S_{n}$为数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和，已知$S_n=2(a_n-2^n+1)$． （Ⅰ）证明：数列$\{\fr

题19: 21. 已知数列$\{a_{n}\}$的首项$a_{1}=3$，且满足${a_{n+1}}+2{a_n}={2^{n+2}}$． （1）证明：$\left\{{

题20: 21．幻方又称为魔方，方阵或厅平方，最早记载于中国公元前500年的春秋时期492《大戴礼》中，宋代数学家杨辉称之为纵横图．如图3所示，将1，2，3，$\ldot

题21: 7．（2023•株洲一模）已知各项均为正数的等差数列$\{a_{n}\}$，且$a_{n+1}>a_{n}$，则$($　　$)$

题22: 4．已知数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，$a_{n}=(2n-1)\cos n\pi$，则$S_{2023}=($　　$)$

题23: 19．（2023•湖北模拟）已知正项数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，且${a}_{n}^{2}+2{a}_{n}-n=2{S}_{n}

题24: 30．（2023•海口模拟）记$S_{n}$为数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和，已知$S_n=2(a_n-2^n+1)$． （Ⅰ）证明：数列$\{\fr

题25: 11．（2023•云南模拟）已知正项数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，且$a_{1}=2$，${S}_{n+1}^{2}-{3}^{n}

题26: 5．数列$\{a_{n}\}$满足${a}_{n+1}=\frac{2{a}_{n}-1}{4{a}_{n}+2}$，且$a_{1}=1$，则数列$\{a_{n

题27: 21．（2023•黄冈模拟）设等差数列$\{a_{n}\}$前$n$项和$S_{n}$，$a_{1}=1$，满足$2S_{n+1}=n(a_{n}+5)+2$，

题28: 6．（2023•张家口二模）欧拉函数$\varphi (n)(n\in N^{*})$的函数值等于所有不超过正整数$n$，且与$n$互质的正整数的个数，例如：$

题29: 23．数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，且$a_{n}=(-1)^{n}(2n-1)$，则$S_{2023}=$___$-2023$__

题30: 9. 设函数$f(x)=2+ln\frac{1-x}{x}$，$a_{1}=1$，${a_n}=f({\frac{1}{n}})+f({\frac{2}{n}

题31: 8. 德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学王子．19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》，在其年幼时，对$1+2+

题32: 13．已知数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，且满足${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}2n-1,&n=2k-

题33: 25．（2023•杭州二模）设公差不为0的等差数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，$S_{5}=20$，${a}_{3}^{2}=a_{2

题34: 3．（2020•赣州模拟）意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的问题：已知一对兔子每个月可以生一对兔子，而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子．假如

题35: 8．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有"数学王子"的称号．设$x\in R$，用$[x]$表示不超过$x$的最大整数，则$f(x)=[x]$称为高

题36: 6．已知数列$\{a_{n}\}$满足$a_{1}=2$，$a_{n+1}=\frac{1+{a_n}}{1-{a_n}}$，其前$n$项和为$T_{n}$，则

题37: 15．（2023•龙华区校级模拟）已知$a_{n}=2n-1$，，若数列$\{b_{n}\}$的前$n$项和为$S

题38: 7．设等差数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，且${S_4}=\frac{2}{3}{S_5}$，$S_{7}=28$，记$T_{n}$为

题39: 2．已知数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，且满足${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}2n-1,&n=2k-1

题40: 1．（2023•顺义区一模）若等差数列$\{a_{n}\}$和等比数列$\{b_{n}\}$满足$a_{1}=b_{1}$，$a_{2}=b_{2}=2$，$b

题41: 9．（2022•襄城区校级模拟）为有效防控新冠疫情从境外输入，中国民航局根据相关法律宣布从2020年6月8日起实施航班熔断机制，即航空公司同一航线航班，入境后核

题42: 17．为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一

题43: 15．（2023•哈尔滨二模）已知数列$\{a_{n}\}$的首项${a_1}=\frac{3}{5}$，且满足${a_{n+1}}=\frac{3{a_n}}

题44: 24．数列$\{a_{n}\}$满足$\tan {a}_{n}=\frac{1}{{n}^{2}+n+1}$，${a}_{n}\in (0,\frac{\pi

题45: 22．（2023•桃城区校级模拟）已知数列$\{a_{n}\}$的首项${a_1}=\frac{4}{5}$，且满足${a_{n+1}}=\frac{4{a_n

题46: 25．已知等差数列$\{a_{n}\}$中，$a_{3}=9$，$a_{5}=17$，记数列$\{\frac{1}{{a}_{n}}\}$的前$n$项和为$S_

题47: 15．如图所示的数阵称为杨辉三角．斜线$AB$上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1，2，3，3，6，4，10，$\dots$，记这个数列的前$n$项和为$S

题48: 3．（2023•全国二模）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，$\dotsb$，从第三项起，每个数等于它前面两个

题49: 9．已知数列$\{a_{n}\}$满足${2}^{n}{a}_{1}+{2}^{n-1}{a}_{2}+\cdots +{2}^{2}{a}_{n-1}+2{a

题50: 10．已知正项数列$\{a_{n}\}$中，${a_1}=1,a_{n+1}^2-a_n^2=1$，则数列$\left\{{\frac{1}{{a_n}+{a_

题51: 17．（2023•昌江县二模）已知数列$\{a_{n}\}$满足$2a_{1}+2^{2}a_{2}+\cdot \cdot \cdot +2^{n}a_{n}

题52: 13. 已知数列$\{a_{n}\}$满足${a}_{1}=2,{a}_{1}+\frac{{a}_{2}}{2}+\frac{{a}_{3}}{3}+\cdo

题53: 7．高斯$(Gauss)$被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有"数学王子"之称．小学进行$1+2+3+\dotsb +100$的求和运算时，他这样算的：$1

题54: 9．课本选择性必修第二册第一章介绍了斐波那契数列，若数列$\{a_{n}\}$满足$a_{1}=a_{2}=1$，$a_{n+2}=a_{n}+a_{n+1}$

题55: 14．数列$\{a_{n}\}$满足$a_{n}=2n+1$，且前$n$项和为$S_{n}$，数列$\{b_{n}\}$满足$b_{n}=\frac{S_n+1

题56: 14．（2023•思明区校级一模）已知数列$\{a_{n}\}$满足：$a_{1}+a_{2}=0$，${a}_{n+2}+{(-1)}^{\frac{n(n+

题57: 10．对于数列$\{a_{n}\}$，令$T_{n}=a_{1}-a_{2}+a_{3}-a_{4}+\dotsb +(-1)^{n+1}a_{n}$，给出下列

题58: 5．如图所示的数阵称为杨辉三角．斜线$AB$上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1，2，3，3，6，4，10，$\dots$，记这个数列的前$n$项和为$S_

题59: 分组求和法

题60: 数列求和

题61: 18．已知构成某系统的元件能正常工作的概率为$p(0<p<1)$，且各个元件能否正常工作是相互独立的．今有$2n(n$大于$1)$个元件可按如图所示的两种连接方

题62: 15．冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征$(MERS)$和严重急性呼吸综合征$(SARS)$等较严重疾病．而今年出现在湖北武汉的新型冠

题63: 17．在1261年，我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中提出了如图所示的三角形数表，这就是著名的"杨辉三角"，它是二项式系数在三角形中的一种几何排列．从第

题64: 14. 已知数列$\{a_{n}\}$为递增的等差数列，$S_{n}$为$\{a_{n}\}$的前$n$项和，$a_{1}+a_{5}=18$，$a_{2}a_

题65: 4．已知数列$\{a_{n}\}$满足$\frac{1}{a_n}=1+2+4+\ldots +{2^{n-1}}$，数列$\{(\lambda n+1)(2^

题66: 7. 德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子，19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》．在其年幼时，对$1+

题67: 27．（2023•襄城区校级模拟）函数$y=f(x)$的图象为自原点出发的一条折线，当$n-1\leqslant y\leqslant n(n\in N^{*}

题68: 8．（2023•李沧区校级一模）云冈石窟，古称为武州山大石窟寺，是世界文化遗产．若某一石窟的某处"浮雕像"共7层，每一层的"浮雕像"个数是其下一层的2倍，共有1

题69: 1．已知数列$\{a_{n}\}$满足：$a_{1}+a_{2}=0$，${a}_{n+2}+{(-1)}^{\frac{n(n+1)}{2}}{a}_{n}=

题70: 20．（2023•陈仓区模拟）已知等差数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，$2a_{2}+a_{5}=21$，$S_{9}=99$． （1

题71: 18．（2023•安徽模拟）已知数列$\{a_{n}\}$满足：$a_{1}=3$，$a_{2}=6$，$a_{3}=11$，从第二项开始，每一项与前一项的差构

题72: 18. 数列$\{a_{n}\}$中，$a_{1}=2$，$a_{n+1}=a_{n}+n+1$． （1）求数列$\{a_{n}\}$的通项公式； （2）设${

题73: 17. 在公差不为0的等差数列$\{a_{n}\}$中，$a_{4}=5$，且$a_{2}$，$a_{3}$，$a_{6}$成等比数列． （1）求$\{a_{n

题74: 13． 2020元旦联欢晚会上，$A$，$B$两班各设计了一个摸球表演节目的游戏：$A$班在一个纸盒中装有1个红球，1个黄球，1个白球，这些球除颜色外完全相同，

题75: 12．（2023•北京）数列$\{a_{n}\}$满足$a_{n+1}=\frac{1}{4}(a_{n}-6)^{3}+6$，下列说法正确的是$($　　$)$

题76: 19. 已知等差数列$\{a_{n}\}$满足$a_{n}+a_{n+1}=4n$，$n\in N^{*}$． （1）求$\{a_{n}\}$的通项公式； （2

题77: 2．（2023•海淀区校级三模）已知等比数列$\{a_{n}\}$，对任意$n\in N^{*}$，$a_{n}\cdot a_{n+1}>0$，$S_{n}$

题78: 26．（2023•锦州一模）记$S_{n}$为数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和，已知$a_{1}=2$，$a_{n+1}=S_{n}+n$． （1）求$

题79: 16．（2023•扬中市校级模拟）已知数列$\{a_{n}\}$满足$a_{1}=1$，${a_{n+1}}=\frac{a_n}{2+3{a_n}}({n\i

题80: 16. 在等比数列$\{a_{n}\}$中，$a_{1}=2$，且$a_{1}$，$a_{3}+1$，$a_{4}$成等差数列． （1）求数列$\{a_{n}\

题81: 23. 已知正项数列$\{a_{n}\}$和$\{b_{n}\}$，$S_{n}$为数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和，且满足$4S_{n}={a}_{n

题82: 12．（2023•沙坪坝区校级模拟）已知等差数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，公差为$d$，$d\ne 0$，且$S_{8}=9a_{4

题83: 27．（2023•全国三模）已知数列$\{b_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，满足$2S_{n}=3(b_{n}-1)$，等差数列$\{c_{n}\

题84: 13．已知等差数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，$a_{1}=1$，且$a_{2}$，$a_{5}$，$a_{14}$成等比数列． （1

题85: 4. 等差数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，满足$a_{2}=5$，$S_{5}=35$． （1）求$\{a_{n}\}$的通项公式；

题86: 13．（2023•包河区模拟）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法$\cdot$商功》中，后人称为"三角垛"．"三角垛"的最上层有1个球，第二层有

题87: 29．（2023•新高考Ⅱ）已知$\{a_{n}\}$为等差数列，，记$S_{n}$，$T_{n}$为$\{a_{

题88: 12．足球运动被誉为"世界第一运动"．为推广足球运动，某学校成立了足球社团，由于报名人数较多，需对报名者进行"点球测试"来决定是否录取，规则如下： ![菁优网：

题89: 26．已知数列$\{a_{n}\}$的首项$a_{1}=3$，其前$n$项和为$S_{n}$，且$S_{n+1}=3S_{n}+2n+3$，$(n\in N^{

题90: 16．数列$\{a_{n}\}$的满足$a_{1}=3$，${a}_{n+1}=2{a}_{n}-1(n\in {N}^{*})$，$b_{n}=\log _{

题91: 1. 已知等差数列$\{a_{n}\}$满足$a_{2}=4$，$2a_{4}-a_{5}=7$，公比不为$-1$的等比数列$\{b_{n}\}$满足$b_{

题92: 14．设数列$\{a_{n}\}$的前$n$项之积为$T_{n}$，满足$2a_{n}+T_{n}=1(n\in N_{+})$． （1）设${b}_{n}=1

题93: 10. 已知函数$f({x+\frac{1}{2}})$为奇函数，且$g(x)=f(x)+1$，若${a_n}=g({\frac{n}{2023}})$，则数列

题94: 3. 记递增的等差数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，已知$S_{5}=85$，且$a_{6}=7a_{1}$． （Ⅰ）求$a_{n}$

题95: 5. 已知数列$\{a_{n}\}$为等比数列，在数列$\{b_{n}\}$中，$b_{1}=2$，$b_{2}=4$，且$a_{n+1}=a_{n}(b_{

题96: 6．已知数列$\{a_{n}\}$的每一项均为0或1，其前$n$项和为$S_{n}$，数列$\{a_{n}\cdot S_{n}\}$的前$n$项和为$T_{n

题97: 8．已知集合$A=\{x\vert x=2n-1$，$n\in N^{*}\}$，$B=\{x\vert x=2^{n}$，$n\in N^{*}\}$，集合$

题98: 15. 已知数列$\{a_{n}\}$的前$n$项的和为$S_{n}$，数列$\{\frac{S_n}{n}\}$是公差为1的等差数列． （Ⅰ）证明：数列$\{

题99: 11．已知$n\in N$，$n\geqslant 1$，将数列$\{2n-1\}$与数列$\{n^{2}-1\}$的公共项从小到大排列得到新数列$\{a_{n

题100: 24．（2023•兴义市校级一模）记$S_{n}$为数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和，已知$a_{1}=1$，${S_n}=\frac{({n+2}){

题101: 6．（2023•江西模拟）若正项递增等比数列$\{a_{n}\}$满足：$\frac{1}{2}+{a_2}-{a_3}+\lambda ({{a_3}-{a_

题102: 26．（2023•湖南模拟）记$S_{n}$为数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和，已知${a_1}=1,\frac{S_n}{a_{n+1}}-\frac

题103: 6. 已知等差数列$\{a_{n}\}$的公差不为零，其前$n$项和为$S_{n}$，且$a_{2}$是$a_{1}$和$a_{5}$的等比中项，且$a_{2

题104: 27．设公比为正数的等比数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，满足$\frac{{S}_{9}}{{S}_{6}}=\frac{73}{9}

题105: 8．（2020•安阳一模）2019年暑假期间，河南有一新开发的景区在各大媒体循环播放广告，观众甲首次看到该景区的广告后，不来此景区的概率为$\frac{11}{

题106: 21．（2023•让胡路区校级模拟）已知数列$\{a_{n}\}$为等差数列，数列$\{b_{n}\}$满足$b_{n}=a_{n}-2$，且$a_{2}-b_

题107: 10．（2023•辽宁模拟）已知数列$\{a_{n}a_{n+1}\}$是以2为公比的等比数列，$a_{1}=1$，$a_{2}=2$，记数列$\{a_{n}\

题108: 22．（2023•渭南模拟）已知首项为1的数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，且$nS_{n+1}-(n+2)S_{n}=\frac{1}

题109: 8．（2023•黑龙江一模）已知数列$\{a_{n}\}$前$n$项和${S_n}={n^2}$，数列$\{b_{n}\}$满足${b_n}=\frac{1}{

题110: 16．（2023•葫芦岛一模）设等差数列$\{a_{n}\}$的前项和为$S_{n}$，已知$a_{1}+a_{2}+a_{3}=9$，$a_{2}\cdot

题111: 11. 已知数列$\{a_{n}\}$，$\{b_{n}\}$的前$n$项和分别为$S_{n}$，$T_{n}$，且满足${b}_{n}={3}^{n}{a}_

题112: 24. 已知正项等差数列$\{a_{n}\}$和正项等比数列$\{b_{n}\}$，$S_{n}$为数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和，且满足$a_{1}

题113: 14．如图，直角坐标系中，圆的方程为$x^{2}+y^{2}=1$，$A(1,0)$，$B(-\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2})

题114: 30．（2023•温州模拟）设$S_{n}$为正项数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和，满足$2S_{n}={a}_{n}^{2}+a_{n}-2$． $(

题115: 25. 记等差数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，公差为$d$，等比数列$\{b_{n}\}$的公比为$q(q>0)$，已知$a_{1}=

题116: 23．（2023•宜章县模拟）已知数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，且$S_{3}=9$，$a_{n+1}=a_{n}+2$． （1）求

题117: 18．下列说法中正确的有$($　　$)$

题118: 20．（2023•扬州三模）定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫作该数列的一次"美好成长"．将数列1，2进行"美好成长"，第一

题119: 6．（2022•盐城一模）若数列$\{a_{n}\}$的通项公式为$a_{n}=(-1)^{n-1}$，记在数列$\{a_{n}\}$的前$n+2(n\in N

题120: 29．（2023•天津模拟）已知数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，满足：$\frac{2{S_n}}{n}={a_n}+1({n\in

题121: 9．（2023•深圳模拟）已知数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，满足：$2a_{n+1}=a_{n}+a_{n+2}({n\in N^{

题122: 10．（2022•三河市模拟）某人玩硬币走跳棋的游戏．已知硬币出现正反面的概率都是$\frac{1}{2}$，棋盘上标有第0站、第1站、第2站、$\ldots

题123: 11．在孟德尔遗传理论中，称遗传性状依赖的特定携带者为遗传因子，遗传因子总是成对出现．例如，豌豆携带这样一对遗传因子：$A$使之开红花，$a$使之开白花，两个因

题124: 17．（2023•沙坪坝区校级模拟）已知数列$\{a_{n}\}$满足$2{a}_{1}+3{a}_{2}+4{a}_{3}+\cdots +(n+1){a}_

题125: 12．已知数列$\{a_{n}\}$满足${a}_{n+1}=\sqrt{-{a}_{n}^{2}+2{a}_{n}}+1,{a}_{n}\geqslant 1

题126: 5．（2022•辽宁模拟）记数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，已知$S_{n}=a_{n}^{2}-4a_{n}+b$，在数集$\{-1

题127: 18．（2023•黄冈模拟）设数列$\{a_{n}\}$前$n$项和为$S_{n}$，满足$({a}_{n}-1)^{2}=4(100-{S}_{n})$，$n

题128: 10．（2023•秦安县校级一模）已知数列$\{a_{n}\}$满足${a}_{1}+2{a}_{2}+3{a}_{3}+\cdots +n{a}_{n}={2

题129: 16．已知$S_{n}$为数列$\{a_{n}\}$前$n$项和，则下列结论成立的有$($　　$)$

题130: 19．（2023•怀化二模）数列$\{a_{n}\}$满足$a_{1}=\frac{1}{2}$，$a_{n}-a_{n+1}-2a_{n}a_{n+1}=0(

题131: 1．已知正项等比数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，且满足$a_{n}S_{n}=\frac{4^n-2^n}{2}$，设$b_{n}=\

题132: 3．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有"数学王子"的称号．用他名字定义的函数称为高斯函数$f(x)=[x]$，其中$[x]$表示不超过$x$的最大

题133: 4．（2023•湖北模拟）在正三棱柱$ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$中，若$A$点处有一只蚂蚁，随机的沿三棱柱的各棱或各侧面的对角线向相邻的某个顶点移

题134: 13．（2023秋•兴庆区校级月考）高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一，享有"数学王子"的称号，用其名字命名的"高斯函数"为：设$x\in R$，用$

题135: 9．（2023•海淀区校级三模）$\{a_{n}\}$是各项均为正数的等差数列，其公差$d\ne 0$，$\{b_{n}\}$是等比数列，若$a_{1}=b_{

题136: 4．（2023•皇姑区四模）设$S_{n}$为数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和，若$a_{n}+a_{n+1}=2n-1$，且存在$k\in N^{*}

题137: 4．（2023•江苏模拟）已知等比数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，${S}_{n+1}+1=4{a}_{n}(n\in {N}^{*}

题138: 1．（2023•江西模拟）在等比数列$\{a_{n}\}$中，$a_{1}=8$，$a_{4}=-1$．记$T_{n}=a_{1}a_{2}\dotsb a_{

题139: 5．（2023•鼓楼区校级模拟）数列$\{a_{n}\}$中，${a}_{n}>1(n\in {N}^{*})$，点$(a_{n}$，$a_{n+1})$在双曲

题140: 11．（2022秋•沙坪坝区校级期末）已知数列$\{a_{n}\}$的通项$a_{n}=\frac{1}{3}[2^{n}-(-1)^{n}]$，$b_{n}=

题141: 28．已知等差数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，$a_{1}+a_{2}+3a_{4}=25$，且$a_{3}+2$，$a_{4}$，$

题142: 3．已知数列$\{a_{n}\}$满足${a}_{1}=-1,n({a}_{n+1}-{a}_{n})=\frac{2}{n+1}$，记$\langle a_{

题143: 16．某植物学家培养出一种观赏性植物，会开出红花或黄花，已知该植物第一代开红花和黄花的概率都是$\frac{1}{2}$，从第二代开始，若上一代开红花，则这一代

题144: 19．已知等差数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，若$a_{2}=-7$，$S_{5}=-25$，则$($　　$)$

题145: 20. 已知$\{a_{n}\}$为等差数列，，记$S_{n}$，$T_{n}$分别为数列$\{a_{n}\}$，

题146: 22. 已知$\{a_{n}\}$为等差数列，，记$S_{n}$，$T_{n}$为$\{a_{n}\}$，$\{b

题147: 12. 记数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，已知$a_{1}=3$，$S_{n}+n(n+1)=na_{n+1}$． （1）求$\{a_