圆锥曲线综合压轴（三问）

已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左焦点为 $F_1(-\sqrt{3},0)$，且椭圆过点 $(1,\frac{\sqrt{3}}{2})$。
（1）求椭圆 $C$ 的方程；
（2）过右焦点 $F_2$ 的直线 $l$ 交椭圆于 $A$、$B$ 两点，求 $\frac{1}{|AF_2|}+\frac{1}{|BF_2|}$ 的值；
（3）过右焦点 $F_2$ 的直线 $l$ 交椭圆于 $A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$，求 $\vec{OA}\cdot\vec{OB}$ 的取值范围。