2023高考圆锥曲线解答(常规)

19. 已知椭圆 $E:\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）的离心率为 $e = \frac{\sqrt{3}}{2}$，$A$、$C$ 分别是 $E$ 的上、下顶点，$B$、$D$ 分别是 $E$ 的左、右顶点，且四边形 $ABCD$ 的面积为 $8$．\n（1）求椭圆 $E$ 的方程；\n（2）设 $P$ 为第一象限内 $E$ 上的动点，直线 $PA$ 与直线 $x = a$ 交于点 $M$，直线 $PC$ 与直线 $x = a$ 交于点 $N$．求证：$|AM| \cdot |CN| = 4b^2$．