2024高考圆锥曲线解答(常规)

19. 已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$），其两个焦点与短轴的两个端点构成边长为 $2$ 的正方形。过点 $P(t, 0)$（其中 $t > 0$）作直线 $l$ 与椭圆交于 $A$、$B$ 两点，连接 $A$ 与上顶点 $C(0,b)$ 交椭圆于另一点 $D$（异于 $A$）。\n（1）求椭圆 $C$ 的标准方程及离心率 $e$；\n（2）若直线 $BD$ 的斜率为 $0$（即 $BD$ 水平），求实数 $t$ 的值。