2024高考圆锥曲线解答(压轴候选)

已知椭圆 $C: \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）的左、右顶点分别为 $A(-a, 0)$、$B(a, 0)$，离心率为 $e$。过点 $P(0, b)$ 作斜率为 $k$（$k > 0$）的直线 $l$，交椭圆 $C$ 于另一点 $Q$（异于 $P$）。设 $M$ 为线段 $PQ$ 的中点，$O$ 为坐标原点。

（1）若 $e = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$，且直线 $l$ 与 $x$ 轴交于点 $T$，满足 $\overrightarrow{OT} \cdot \overrightarrow{OM} = 0$，求 $k$ 的值；

（2）若 $\triangle OPQ$ 是以 $O$ 为顶点的等腰三角形（即 $OP = OQ$），且点 $Q$ 在第一象限，求椭圆的离心率 $e$ 的取值范围；

（3）连接 $AQ$ 并延长，交椭圆于另一点 $R$（$R \neq Q$），若 $\dfrac{|AQ|}{|QR|} = \lambda$，且对任意满足条件的 $k > 0$，恒有 $\lambda > 2$，求 $e$ 的取值范围。