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#7291e2b8-28d2-4ef0-bf6c-69948574d94a
中等
解答题
分离参数法
导数
【代表题】分离参数法 · 第三道
若
a
x
≤
x
2
+
ln
x
ax \le x^2 + \ln x
a
x
≤
x
2
+
ln
x
对所有
x
≥
1
x \ge 1
x
≥
1
恒成立，求
a
a
a
的取值范围。
解析
分离
a
≤
x
+
ln
x
x
a \le x + \frac{\ln x}{x}
a
≤
x
+
x
l
n
x
。令
g
(
x
)
=
x
+
ln
x
x
g(x) = x + \frac{\ln x}{x}
g
(
x
)
=
x
+
x
l
n
x
，
g
′
(
x
)
=
1
+
1
−
ln
x
x
2
g'(x) = 1 + \frac{1 - \ln x}{x^2}
g
′
(
x
)
=
1
+
x
2
1
−
l
n
x
。
x
≥
1
x \ge 1
x
≥
1
时
1
−
ln
x
≤
0
1 - \ln x \le 0
1
−
ln
x
≤
0
，但
1
+
(
1
−
ln
x
)
/
x
2
1 + (1-\ln x)/x^2
1
+
(
1
−
ln
x
)
/
x
2
的符号需细看：
x
=
1
x=1
x
=
1
时
g
′
=
2
>
0
g'=2>0
g
′
=
2
>
0
；
x
=
e
x=e
x
=
e
时
g
′
=
1
>
0
g'=1>0
g
′
=
1
>
0
；对所有
x
≥
1
x \ge 1
x
≥
1
都
g
′
>
0
g' > 0
g
′
>
0
。故
g
g
g
单增，
g
min
=
g
(
1
)
=
1
g_{\min}=g(1)=1
g
m
i
n
=
g
(
1
)
=
1
，
a
≤
1
a \le 1
a
≤
1
。
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