双参数极值综合

已知函数 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx$（$a, b \in \mathbb{R}$）在 $x = 1$ 处取得极值。
（1）求 $b$ 关于 $a$ 的表达式，并求 $f(1)$；
（2）若 $f(x)$ 有两个不同的极值点，求 $a$ 的取值范围；
（3）在（2）的条件下，设两个极值点为 $x_1, x_2$（$x_1 < x_2$），求 $f(x_1) - f(x_2)$ 的表达式。