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#de95b5bc-40c2-4f43-b790-e79c607a4767中等解答题导数与函数单调性导数及其应用
考点来源：一数《【模块二】1 判断函数零点所在区间》一数《「导数含参单调性讨论」一小时大串讲！》一数《【高二】导数公式+切线+单调性极值！一课搞定！》一数《BV1VafCB4EL1》

4．（2023春•铁西区校级期中）已知函数f(x)=13x3+ax2−3a2x+1(a∈R)f(x)=\frac{1}{3}{x}^{3}+a{x}^{2}-3{a}^{2}x+1(a\in R)． （1）当a=1a=1时，求函数f(x)f(x)在[−4[-4，4]4]上的最大值和最小值； （2）试讨论函数f(x)f(x)的单调性．

解析
【主解法】 第1步：（1）当a=1a=1时，f(x)=13x3+x2−3x+1f(x)=\frac{1}{3}x^{3}+x^{2}-3x+1， f′(x)=x2+2x−3=(x+3)(x−1)f\prime (x)=x^{2}+2x-3=(x+3)(x-1)， 计算f′(x)在a=1时的表达式 第2步：令f′(x)=0f\prime (x)=0，得x=1x=1或x=−3x=-3， 令f′(x)=0f\prime (x)=0，得x=1x=1或x=−3x=-3， 第3步：所以在(−3,1)(-3,1)上，f′(x)<0f\prime (x)<0，f(x)f(x)单调递减， 在(−4,−3)(-4,-3)，(1,4)(1,4)上，f′(x)f\prime (x)单调递增， f(−4)=−643+16+12+1=233f(-4)=-\frac{64}{3}+16+12+1=\frac{23}{3}， f(−3)=−9+9+9+1=10f(-3)=-9+9+9+1=10， ff（1 写出对应的结果 第4步：所以f(x)max=793f(x)_{max}=\frac{79}{3}，f(x)min=−23f(x)_{min}=-\frac{2}{3}． 根据所以f(x)max=793f(x)_{max}=\frac{79}{3}，f(x)min=−23f(x)_{min}=-\frac{2}{3}．，写出对应的结果 第5步：（2）f′(x)=x2+2ax−3a2=(x+3a)(x−a)f\prime (x)=x^{2}+2ax-3a^{2}=(x+3a)(x-a)， 写出x²+2ax−3a²的因式分解形式 第6步：令f′(x)=0f\prime (x)=0得x=−3ax=-3a或x=ax=a， 令f′(x)=0f\prime (x)=0得x=−3ax=-3a或x=ax=a， 第7步：当−3a=a-3a=a，即a=0a=0时，f′(x)=x2⩾0f\prime (x)=x^{2}\geqslant 0， 当−3a=a-3a=a，即a=0a=0时，f′(x)=x2⩾0f\prime (x)=x^{2}\geqslant 0， 第8步：所以f(x)f(x)在RR上单递增， 写出在R上单调递增的函数 第9步：当−3a<a-3a<a，即a>0a>0时， 在(−∞,−3a)(-\infty ,-3a)，(a,+∞)(a,+\infty )上，f′(x)>0f\prime (x)>0，f(x)f(x)单调递增， 在(−3a,a)(-3a,a)上，f′(x)<0f\prime (x)<0，f(x)f(x)单调递减， 当−3a<a-3a<a，即a>0a>0时， 在(−∞,−3a)(-\infty ,-3a)，(a,+∞)(a,+\infty )上，f′(x)>0f\prime (x)>0，f(x)f(x)单调递增， 在(−3a,a)(-3a,a)上，f′(x)<0f\prime (x)<0，f(x)f(x)单调递减， 第10步：当−3a>a-3a>a，即a<0a<0时， 在(−∞,a)(-\infty ,a)，(−3a,+∞)(-3a,+\infty )上，f′(x)>0f\prime (x)>0，f(x)f(x)单调递增， 在(a,−3a)(a,-3a)上，f′(x)<0f\prime (x)<0，f(x)f(x)单调递减， 综上所述，当a=0a=0时，f(x)f(x)在RR上单递增， 计算f′(x)在x=a处的函数值 第11步：当a>0a>0时，f(x)f(x)在(−∞,−3a)(-\infty ,-3a)，(a,+∞)(a,+\infty )上单调递增，在(−3a,a)(-3a,a)上单调递减， 当a>0a>0时，f(x)f(x)在(−∞,−3a)(-\infty ,-3a)，(a,+∞)(a,+\infty )上单调递增，在(−3a,a)(-3a,a)上单调递减， 第12步：当a<0a<0时，f(x)f(x)在(−∞,a)(-\infty ,a)，(−3a,+∞)(-3a,+\infty )上单调递增，在(a,−3a)(a,-3a)上单调递减． 当a<0a<0时，f(x)f(x)在(−∞,a)(-\infty ,a)，(−3a,+∞)(-3a,+\infty )上单调递增，在(a,−3a)(a,-3a)上单调递减．

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