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#e16ac080-6721-44c7-bead-c49c42746f3e中等解答题导数与函数单调性导数及其应用

考点来源：一数《【模块二】1 判断函数零点所在区间》一数《「导数含参单调性讨论」一小时大串讲！》一数《【高二】导数公式+切线+单调性极值！一课搞定！》一数《BV1VafCB4EL1》

11．（2023春•锦州期末）已知函数 $f(x)=\frac{1}{3}{x}^{3}-\frac{1}{2}a{x}^{2}$ ．（1）若 $x=1$ 是函数 $f(x)$ 的极小值点，求 $a$ 的值；（2）讨论 $f(x)$ 的单调性．

解析

【解答】解：（1）

f\prime (x)=x^{2}-ax=x(x-a)

，

(x\in R)

令

f\prime (x)=0

，得：

x_{1}=0

，

x_{2}=a

，由于

x=1

是函数

f(x)

的极小值点，所以

f\prime

（1）

=0

，即

a=1

，此时因为

x\in (-\infty ,0)

时，

f\prime (x)>0

，

f(x)

在

(-\infty ,0)

上单调递增，

x\in (0,1)

时，

f\prime (x)<0

，

f(x)

在

(0,1)

上单调递减，

x\in (1,+\infty )

时，

f\prime (x)>0

，

f(x)

在

(1,+\infty )

上单调递增，所以

x=1

是函数

f(x)

的极小值点，故

a=1

满足题意．（2）

f\prime (x)=0

时

x=0

或

x=a

，

a<0

时，

f\prime (x)>0

的解为

x<a

或

x>0

，此时

f(x)

在

(-\infty

，

a]

和

[0

，

+\infty )

上单调递增；

f\prime (x)<0

的解为

a<x<0

，此时

f(x)

在

[a

，

0]

上单调递减；

a>0

时，

f\prime (x)>0

的解为

x<0

或

x>a

，此时

f(x)

在

(-\infty

，

0]

和

[(a,+\infty )

上单调递增；

f\prime (x)<0

的解为

0<x<a

，此时

f(x)

在

[0

，

a]

上单调递减；

a=0

时，

f\prime (x)\geqslant 0

恒成立，此时

f(x)

在

R

上单调递增．

同知识点相似题

中等解答题8．（2023春•怀仁市期末）已知函数

f(x)=({x-2}){e^x}-\frac{a}{2}{x^2}+ax

a\in R

a=0

中等解答题14．（2023春•仁寿县校级期中）已知函数

f(x)=lnx+ax^{2}+(2a+1)x

a=1

y=f(x)

x=1

中等解答题18．（2023•德州三模）已知函数

f(x)=lnx+\frac{1}{2}(a-x)^{2}

a\in R

a=1

时，求函数

f(x)

(1

f

)

处的切线方程；（2）讨论函数

f(x)

的单调性；→

中等解答题10．（2023春•唐山期末）已知函数

f(x)=e^{x}-ax-1

．（1）讨论函数

f(x)

的单调性；（2）若

f(x)

有且仅有2个零点，求实数

a

的取值范围．→

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