19．（2023•香坊区校级三模）已知函数$f(x)=2\sin \omega x\cos \varphi +2\sin \varphi -4si{n}^{2}\frac{\omega x}{2}\sin \varphi (\omega >0,\vert \varphi \vert <\pi )$，其图像的一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差$\frac{\pi }{4}$，\_\_\_\_\_，从以下两个条件中任选一个补充在空白横线中．
①函数$f(x)$的图像向左平移$\frac{\pi }{3}$个单位长度后得到的图像关于$y$轴对称且$f(0)<0$；
②函数$f(x)$的图像的一个对称中心为$(\frac{\pi }{12},0)$且$f(\frac{\pi }{6})>0$．
（1）求函数$f(x)$的解析式；
（2）将函数$f(x)$图象上所有点的横坐标变为原来的$\frac{1}{t}(t>0)$倍，纵坐标不变，得到函数$y=g(x)$的图象，若函数$y=g(x)$在区间$[0,\frac{\pi }{3}]$上恰有3个零点，求$t$的取值范围．