存在性问题（以AB为直径的圆过原点）

已知椭圆 $\frac{x^2}{2}+y^2=1$ 的右焦点为 $F(1,0)$，直线 $l: y=k(x-2)$（$k\neq0$）交椭圆于 $A$、$B$ 两点。问是否存在 $k$ 使得以 $AB$ 为直径的圆过原点 $O$？若存在，求 $k$；若不存在，说明理由。