13．已知双曲线$\Gamma :\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1(a>0,b>0)$的左右顶点分别为点$A$，$B$，其中$\vert AB\vert =2$，且双曲线过点$C(2,3)$．
（1）求双曲线$\Gamma$的方程；
（2）设过点$P(1,1)$的直线分别交$\Gamma$的左、右支于$D$，$E$两点，过点$E$作垂直于$x$轴的直线$l$，交线段$BC$于点$F$，点$G$满足$\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{FG}$．证明：直线$DG$过定点，并求出该定点．